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(UFRRJ) Numa sala de
aula, cada um dos 100 alunos recebe um número que faz parte de uma sequência
que está em progressão aritmética. Sabendo que a soma de todos os números é
15050 e que a diferença entre o 46º e o 1º é 135, determine o 100º número.
Primeiro, vamos saber
qual o valor da diferença entre o 46º e o 1º termos que é igual a 135, bom,
como é a diferença é subtração, menos, então, sendo a46 o 46º termo, e
"a1" o primeiro temos:
a46 - a1 = 135
Agora, temos que descobrir o valor de "a46", usaremos a fórmula:
an = a1 + (n - 1) . r
Onde "an" é um termo qualquer, "a1" o primeiro termo, e "r" a razão, como queremos o valor de a46, teremos:
an = a1 + (n - 1) . r
a46 = a1 + (46 - 1) . r [só substituimos "n" por 46]
a46 = a1 + 45r
Temos o valor de "a46", agora:
a46 - a1 = 135 [valor de a46:]
a1 + 45r - a1 = 135
a1 - a1 + 45r = 135
45r = 135
r = 135 : 45 [o 45 passa pro 2º termo com sinal trocado, ao invés de multiplicar passa a dividir]
r = 3
Temos por enquanto, o valor da razão que é "3", e temos a expressão:
a46 - a1 = 135
Temos apenas isso, por enquanto, agora, a soma dos 100 termos dessa P.A é igual a 15.050, então temos a fórmula de soma da P.A:
Sn = (a1 + an) . n : 2
Como são 100 termos, seria a soma de 100 termos (S100), substituindo esse valor:
Sn = (a1 + an) . n : 2
S100 = (a1 + a100) . 100 : 2 [a soma dos 100 termos é igual a 15.050:]
15.050 = (a1 + a100) . 50
15.050 : 50 = (a1 + a100) [o 50 passa com sinal trocado para o 1º termo, passa dividindo]
301 = a1 + a100
Agora se lembre daquela fórmulazinha:
an = a1 + (n - 1) . r [queremos o 100º termo, por isso "a100", substituindo os valores de "n":]
a100 = a1 + (100 . 1) . r [o valor de "r" a razão, como sabemos é "3", então:]
a100 = a1 + 99 . r
a100 = a1 + 99 . 3
a100 = a1 + 297
Temos o valor de "a100", agora substituimos:
301 = a1 + a100 [valor de "a100":]
301 = a1 + a1 + 297
301 - 297 = a1 + a1 [o 297 passa com sinal trocado]
4 = 2a1
2a1 = 4
a1 = 4 : 2 [o 2 passa dividindo]
a1 = 2
Temos o valor da razão, e de "a1", agora fica fácil encontrar o valor de a100:
an = a1 + (n - 1) . r
a100 = a1 + (100 - 1) . r
a100 = a1 + 99 . r
a100 = 2 + 99 . 3
a100 = 2 + 297
a100 = 299
Resposta: O último número entregue é o número 299.
a46 - a1 = 135
Agora, temos que descobrir o valor de "a46", usaremos a fórmula:
an = a1 + (n - 1) . r
Onde "an" é um termo qualquer, "a1" o primeiro termo, e "r" a razão, como queremos o valor de a46, teremos:
an = a1 + (n - 1) . r
a46 = a1 + (46 - 1) . r [só substituimos "n" por 46]
a46 = a1 + 45r
Temos o valor de "a46", agora:
a46 - a1 = 135 [valor de a46:]
a1 + 45r - a1 = 135
a1 - a1 + 45r = 135
45r = 135
r = 135 : 45 [o 45 passa pro 2º termo com sinal trocado, ao invés de multiplicar passa a dividir]
r = 3
Temos por enquanto, o valor da razão que é "3", e temos a expressão:
a46 - a1 = 135
Temos apenas isso, por enquanto, agora, a soma dos 100 termos dessa P.A é igual a 15.050, então temos a fórmula de soma da P.A:
Sn = (a1 + an) . n : 2
Como são 100 termos, seria a soma de 100 termos (S100), substituindo esse valor:
Sn = (a1 + an) . n : 2
S100 = (a1 + a100) . 100 : 2 [a soma dos 100 termos é igual a 15.050:]
15.050 = (a1 + a100) . 50
15.050 : 50 = (a1 + a100) [o 50 passa com sinal trocado para o 1º termo, passa dividindo]
301 = a1 + a100
Agora se lembre daquela fórmulazinha:
an = a1 + (n - 1) . r [queremos o 100º termo, por isso "a100", substituindo os valores de "n":]
a100 = a1 + (100 . 1) . r [o valor de "r" a razão, como sabemos é "3", então:]
a100 = a1 + 99 . r
a100 = a1 + 99 . 3
a100 = a1 + 297
Temos o valor de "a100", agora substituimos:
301 = a1 + a100 [valor de "a100":]
301 = a1 + a1 + 297
301 - 297 = a1 + a1 [o 297 passa com sinal trocado]
4 = 2a1
2a1 = 4
a1 = 4 : 2 [o 2 passa dividindo]
a1 = 2
Temos o valor da razão, e de "a1", agora fica fácil encontrar o valor de a100:
an = a1 + (n - 1) . r
a100 = a1 + (100 - 1) . r
a100 = a1 + 99 . r
a100 = 2 + 99 . 3
a100 = 2 + 297
a100 = 299
Resposta: O último número entregue é o número 299.
Fascinante!
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