Cálculo - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.3 - Cálculos Usando Propriedades dos Limites

61. Existe um número a tal que:

exista? Caso afirmativo, encontre a e o valor do limite.

O capítulo 2.3 mostra algumas propriedades dos limites, principalmente que no caso de polinômios e radicais basta substituir o valor que x deve tender para encontrar o limite, desde que não gere uma indeterminação. 

No nosso caso, se substituirmos 'x' por -2, o denominador será 0, gerando uma indeterminação. 

x^2 + x - 2 =

(-2)^2 +(-2) - 2 =

+4 -2 -2 = 0

Vamos usar encontrar as raizes das equações:


Δ = b²- 4 . a . c

Δ = 1²- 4 . 1 . (-2)

Δ = 9

x = (-b ± √Δ) / 2 . a

x' = (-1 ± √9) / 2 . 1

x' = (-1 + 3) / 2

x' = 1

x'' = (-1 - 3) / 2

x'' = -2

As raízes se colocar negativo é exatamente o valor da expressão:

(x - 1) . (x + 2) = x^2 + x - 2

Perceba que se substituímos x por (-2), a expressão (x+2) torna-se 0, gerando a indeterminação, para que o numerador possa gerar o limite, temos que simplificar o numerador por (x+2) por isso dividimos o numerador por (x+2)

3x^2 + ax + a + 3 | x+2 [começamos com 3x]

                             | 3x [multiplicamos por 3x, e geramos (3x^2 + 6x), mas que é multiplicado por -1]

3x^2 + ax + a + 3 | x+2 [para eliminar o ax, multiplicamos por 'a']

-3x^2 - 6x             | 3x + a [gerando ax + 2a]
0 + ax - 6x + a + 3|
   - ax - 2a              |
      0 - 6x + a - 2a + 3|
-6x - a + 3              |


3x^2 + ax + a + 3 | x+2 [multiplicamos por -6, para eliminar o -6x]
          -6x - a + 3   | 3x + a - 6 [gerando -6x - 12]
           +6x + 12    |
           0 - a + 15   |

Não temos como multiplicar mais, porque não há mais 'x' no resto da expressão, por isso, para que a simplificação seja possível, -a + 15, tem que ser igual a zero, por isso:

-a + 15 = 0
-a = -15
a = 15

Encontramos o valor de 'a'. Já temos a simplificação necessária:
(3x + a - 6) =
3x + 15 - 6 =
3x + 9
que foi dividido por (x+2), por isso:

(x + 2) . (3x + 9) = 3x^2 + ax + a + 3
(x+2) . (3x+9) = 3x^2 + 15x + 18

Então temos, por fim:

Simplificando, dividimos (x+2) / (x+2)

                            

(3x + 9) / (x - 1)

(3 . (-2) + 9) / (-2 - 1)

(-6 + 9) / (-3)

+3 / -3 =

-1

Resposta: O valor de a é 15, e o valor do limite é -1.