Cálculo - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.4 - A Definição Precisa de Limite

13. (a) Encontre um número δ tal que se |x - 2| < δ, então |4x - 8| <  ε, onde ε = 0,1.

(b) Repita a parte (a) com ε = 0,01.




A Conclusão desse capítulo é a seguinte:
Existe o limite:

apenas se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0, tal que:

se 0 < |x - a| < δ                               então                         |f(x) - L| < ε

Sendo ε o erro do limite (já que o x não tem valor de a, apenas aproxima-se de a, então o limite aproxima-se de L, se existir, com isso há um erro entre o valor real de L, e o valor apresentado que damos o nome de ε), já o δ é a diferença entre o 'x' e a sua aproximação 'a'.

Com isso em mente, os cálculos necessários são:

|x - 2| < δ

|4x - 8| <  ε [tiramos o 4 da expressão entre barras:]
4 . |x - 2| < ε [dividimos os dois lados por 4:]
4 . |x - 2| / 4 < ε/4
|x - 2| < ε/4 [como |x - 2| < δ, então podemos fazer |x - 2| = δ, e substituir]
δ < ε/4

Essa é a resposta. Na letra a), pede-se ε = 0,1
δ < ε/4
δ < 0,1/4
δ < 0,025

Na letra b) pede-se ε = 0,01
δ < 0,01/4
δ < 0,0025

Resposta: Na letra a) δ deve ser menor que 0,025, e na letra b) menor que 0,0025

Não precisamos usar a definição do limite, dada no início, porque a questão já trazia as contas definidas, mas transcrevendo para limite seria: