Cálculo - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.4 - A Definição Precisa de Limite

37. Demonstre que 

se a > 0. 

Sugestão: Use 

A Conclusão desse capítulo é a seguinte:
Existe o limite:

apenas se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0, tal que:

se 0 < |x - a| < δ                               então                         |f(x) - L| < ε

Sendo ε o erro do limite (já que o x não tem valor de a, apenas aproxima-se de a, então o limite aproxima-se de L, se existir, com isso há um erro entre o valor real de L, e o valor apresentado que damos o nome de ε), já o δ é a diferença entre o 'x' e a sua aproximação 'a'.

Dessa forma, como temos:

Então:
0 < |x - a| < δ                      e                  | (√x - 0) - √a| < ε

Assim:
| √x - √a| < ε [Pela sugestão]
|x - a| / (√x - √a) < ε [Multiplicamos ambos os lados por (√x - √a)
(√x - √a) . |x - a| / (√x - √a) < ε . (√x - √a)
|x - a| < ε . (√x - √a) [Lembramos que |x - a| < δ, podemos fazer |x - a| = δ, e substituir]
δ < ε . (√x - √a)

Lembrando que a questão pede que a > 0, pois, como temos a raiz quadrada, não pode ser número negativo.

Com o valor de δ substituímos: 

 |x - a| < δ  

 |x - a| < ε . (√x - √a)

  

 |x - a| / (√x - √a)  < ε
| √x - √a| < ε

Comprovando o limite.