Cálculo - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.4 - A Definição Precisa de Limite

41. Quão próximo de -3 devemos tomar x para que:

A Conclusão desse capítulo é a seguinte:
Existe o limite:

apenas se para todo número ε > 0 houver um número δ > 0, tal que:

se 0 < |x - a| < δ                               então                         |f(x) - L| < ε

Sendo ε o erro do limite (já que o x não tem valor de a, apenas aproxima-se de a, então o limite aproxima-se de L, se existir, com isso há um erro entre o valor real de L, e o valor apresentado que damos o nome de ε), já o δ é a diferença entre o 'x' e a sua aproximação 'a'.

Transcrevendo a nossa expressão para limites, teríamos algo do tipo:

E pela definição do início:

0 < |x + 3| < δ          e temos também:

1 / (x + 3)4 > 10000 [multiplicamos os dois lados por (x + 3)4]
(x + 3)4 . 1 / (x + 3)4 > 10.000 . (x + 3)4
1 > 10000 .  (x + 3)4

Fazendo: |x + 3| < δ, e portanto: |x + 3| = δ

1 > 10000 .  δ4
1 / 10000 > 10000 . δ4
 1 / 10000 > δ4
 (1 / 10000)1/4 > δ
0,1 > δ

Resposta: x deve ser próximo de -3, até menos de 0,1.