Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

21-28 . Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga o Domínio.

21.

Os teoremas do capítulo 2.5, dizem o seguinte:

4 - Se f e g forem contínuas em a, e se c for constante, então as funções são contínuas em a:

1. f + g                       2. f - g                3. cf                   4. fg                         5. f/g (se g(a) ≠ 0)


5 - a) Qualquer polinômio é contínuo em todo conjunto dos reais.
b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida em seu domínio.


7 - Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo número em seu domínio. 
polinômios              funções racionais                  funções raízes                         funções trigonométricas
funções trigonométricas inversas                         funções exponenciais              funções logarítmicas.


9 - Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f º g dada por (f º g)(x) = f(g(x)) é contínua em a.


Pela fórmula dada, temos um polinômio que divide outro polinômio. Então os dois polinômios são contínuos pelo teorema 7, e pelo teorema 5 a função é contínua, desde que 'g' ≠ 0, então temos que encontrar os números que (6x^2 + x - 1) seja diferente de zero, assim:
6x^2 + x - 1 = 0

Δ = b^2 - 4 . a . c
Δ = 1^2 - 4 . 6 . (-1)
Δ = 25

x = -b ± √Δ / 2 . a

x' = (- 1 + √25 )/ 2 . 6
x' = (-1 + 5) / 12
x' = 4/12 = 1/3

x'' = (- 1 - √25 )/ 2 . 6
x'' = (- 1 - 5 )/12
x'' = -6/12 = -1/2

A função é contínua em todo intervalo, menos nos números 1/3 e -1/2, sem poder assumir esses valores, então parênteses aberto, temos o seguinte:
Contínuo em:

(-∞, -1/2) 
(-1/2, 1/3)
(1/3, +∞)

Em outras palavras, é contínuo para x ≠ 1/3, e x ≠ -1/2