Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

21-28 . Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga o Domínio.

23.

Os teoremas do capítulo 2.5, dizem o seguinte:

4 - Se f e g forem contínuas em a, e se c for constante, então as funções são contínuas em a:

1. f + g                       2. f - g                3. cf                   4. fg                         5. f/g (se g(a) ≠ 0)


5 - a) Qualquer polinômio é contínuo em todo conjunto dos reais.
b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida em seu domínio.


7 - Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo número em seu domínio. 
polinômios              funções racionais                  funções raízes                         funções trigonométricas
funções trigonométricas inversas                         funções exponenciais              funções logarítmicas.


9 - Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f º g dada por (f º g)(x) = f(g(x)) é contínua em a.


Pelo teorema 4, f + g, é contínuo caso f e g separadamente são contínuos, então, se:
f = x^2 e g = √(2x - 1)

Pelo teorema 7, as funções polinominais e raízes são contínuas em seus domínios, então são contínuas.

Entretanto 2x - 1 não pode ser negativo, isso implicaria em raiz negativa, que não existe. Então é contínua desde que:

2x - 1 ≥ 0
2x ≥ 1
x ≥ 1/2

Como 'x' pode ser maior ou igual a 1/2 (ou seja, assumir o valor de 1/2) então é 1/2 fechado com colchete:

Intervalo: [1/2, ∞)
Obedecendo esse intervalo a função é contínua.