Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

45. Se f(x) = x^2 + 10 sen(x), mostre que existe um número c tal que f(c) = 1000. 

O capítulo 2.5 mostra o teorema do valor intermediário, se f é uma função contínua, em um intervalo [a, b], e N é um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b), então existe um número c entre a e b, tal que f(c) = N.

Na nossa questão:

f(x) = x^2 + 10sen(x) 

f(c) = c^2 + 10sen(c)

1000 = c^2 + 10sen(c)

c^2 + 10sen(c) - 1000 = 0

Como x^2 é uma função contínua, assim como a função sen(x), que é trigonométrica e contínua, e que a soma de duas funções contínuas, também é contínua, basta provar que tem dois números, que geram resultados respectivamente resultados menores e maiores que 1000, para isso temos valores aleatórios de 10 e 100 por exemplo:

x^2 + 10 sen(x)

10^2 + 10 . sen(10) [lembrando que o 10 no seno, deve ser em radianos]

100 + 10 . (-0,544)

100 - 5,4402

94,559

x^2 + 10 sen(x)

100^2 + 10 . sen(100)

10.000 + 10 . (-0,506)

9994,936

Perceba que entre a e b (10 e 100) temos dois números 94 e 9994, e ainda 1000 está entre esses dois números, então existe um número c tal que f(c) = 1000.

Perceba também que ambos os resultados foram bem distantes de 1000, como encontrar um c entre 10 e 100, que resulte em um número próximo de 1000? Podemos ter o seguinte raciocínio:

sen(x) independente do valor, varia de -1 até 1. Por isso 10 . sen(x) varia de -10 até 10. Como o resultado tem que ser 1000, diminuindo os valores de sen(x), o resto deve estar entre 1010 e 990. O resto seria x^2, então:

x^2 = 990
√x^2 = √990
x = 31,46

x^2 = 1010

x = 31,78

Fazendo na expressão x = 31,46 e x = 31,78:

f(x) = x^2 + 10sen(x) 

f(31,46) = 31,46^2 + 10sen(31,46)

f(31,46) = 989,73 + 10 . 0,044

f(31,46) = 989,73 + 0,44059

f(31,46) = 990,17

f(x) = x^2 + 10sen(x) 

f(31,78) = 31,78^2 + 10sen(31,78)

f(31,78) = 1009,9684 + 3,56 = 1013,529

Valores cada vez mais próximos de 1000, vamos tirar a média dos dois números:

(31,46 + 31,78) / 2 = 31,62:

f(x) = x^2 + 10sen(x) 

f(31,62) = 31,62^2 + 10sen(31,62)

f(31,62) = 999,8244  + 2,026599  = 1001,851

Que é um valor bem melhor aproximado do resultado desejado 1000. 

Assim, c = 31,62.

[Se quisesse resultados melhores, já que 31,78 dá um valor maior que 1000, então faria a média entre 31,46 e 31,62]