Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

47-50 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. 

47. 

O capítulo 2.5 mostra o teorema do valor intermediário, se f é uma função contínua, em um intervalo [a, b], e N é um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b), então existe um número c entre a e b, tal que f(c) = N.

Na nossa questão já é dado os dois valores a e b, (1,2), temos:

x^4 + x - 3 =
1^4 + 1 - 3 =
1 + 1 - 3 = -1

x^4 + x - 3 = 
2^4 + 2 - 3 = 
15

Então entre (1, 2), temos os valores entre (-1, 15), e mais, a função é contínua, por se tratar de um polinômio, temos: 
-1 < 0 < 15

Por isso existe raiz para função, já que os números "a" e "b" geraram resultados em que o zero está entre eles. 

Já que para 1 o valor foi mais próximo de zero, temos que aproximar para o valor de x = 1, e não para 2, testando com 1,2, temos:

x^4 + x - 3 =
1,2^4 + 1,2 - 3 = 
2,0736 + 1,2 - 3 = 
0,2736

Que já é um número bem próximo. Se fizermos 1,1 teremos diminuído demais o número, testamos com 1,15

x^4 + x - 3 =
1,15^4 + 1,15 - 3 =
-0,1009

Como diminuiu demais o número, ele se tornou negativo, ainda assim, melhor aproximado que o 0,27, por isso, seguindo a linha de raciocínio, entre 1,15 e 1,17, encontra valores melhores, mais próximos do zero desejado. 

Resposta: Sim, a expressão tem raiz.