Matemática - Porcentagem

Um produto de preço inicial X sofre dois descontos iguais e sucessivamente de K%, de modo que no seu preço final se tenha um desconto de 19% sobre X.O valor de K é?

Novamente uma questão de porcentagem, que pega muita gente na sua casca de banana.

Vamos supor que o preço do produto seja R$ 100,00, só um exemplo para facilitar, ao final dos dois descontos, temos um desconto de 19%, no caso, porcentagem, número dividido por 100, então 19% é na verdade 19 : 100 = 0,19:

100 . 0,19 = 19

Temos:

100 – 19 = 81

Pronto, temos R$ 81,00 no final dos dois descontos. Agora, ocorre assim, temos dois descontos diferentes “d₁”, e “d₂”, ambos com as taxas iguais. Mas como assim? Simples, primeiro temos R$ 100,00, sobre um desconto de %K, então, o primeiro desconto:

d₁ = (100 . %k) / 100 [o dividido por 100, é porque o ‘k’ está em porcentagem]

d₁ = k

E dos 100 tira o ‘k’:

100 – k

Temos o 1º desconto e o valor após o desconto (100 – k), por fim, temos um segundo desconto, da mesma taxa ‘k’, porém, agora sobre os (100 – k), e não mais sobre os R$ 100,00, assim:

d₂ = (100 – k) . (k% / 100)

d₂ = (100 – k) . 0,01k

d₂ = k – 0,01k² [o ‘k’ multiplica todos os termos em parênteses]

Agora, a soma desses dois descontos, tem que ser iguais a R$ 19,00:

d₁ + d₂ = 19

k +  (k – 0,01k²) = 19

k + k – 0,01k² = 19

- 0,01k² + 2k = 19

-0,01k² + 2k – 19 = 0

Temos uma equação do 2º grau:

∆ = b² – 4 . a . c

∆ = 2² – 4 . (-0,01) . (-19)

∆ = 4 – 0,76

∆ = 3,24

Por fim:

k = - b +- √∆ / (2 . a)

k = -2 +- √3,24 / 2 . (-0,01)

k = (-2 +- 1,8) / -0,02

Temos dois valores

k’ = (-2 + 1,8) / - 0,02

k’ = -0,2 / -0,02

k’ = +10

Enquanto

k’’ = (-2 – 1,8) / - 0,02

k’’ = -3,8 / - 0,02

k’’ = 190

Resposta, logicamente k = 10%, pois se k = 190%, descontaria o valor total em uma única vez. Então k = 10%.

Perceba o raciocínio, temos R$ 100,00, um desconto de 10%, R$ 10,00:

100 – 10 = 90

Depois temos um desconto de mais 10%, só que agora é sobre os R$ 90,00, assim:

90 . 0,1 = 9

Temos um desconto de R$ 9,00, ao fim:

10 + 9 = 19

Temos um desconto de R$ 19,00 que são 19% de R$ 100,00.