Matemática - Progressão geométrica

Determinar o valor de x na sentença 4x +16x +...+4096x=10920 sabendo que os termos do primeiro membro formam uma P.G.

/*Resposta*/

Temos os termos da P.G (4, 16, ..., 4096), então:

a1 = 4

a2 = 16

E o último termo: (an = 4096). Primeira fórmula:

an = a1 . q^{(n – 1)}

Onde ‘an’, um termo qualquer, ‘a1’, o primeiro termo, e ‘q’ a razão. Queremos encontrar ‘n’, número de termos da P.G, para isso, primeiro temos que saber a razão:

q = a2 : a1 [substituindo valores:]

q = 16 : 4

q = 4

Temos a razão:

an = a1 . q^{(n – 1)}

an = 4 . 4^{(n – 1)}

4096 = 4 . 4^{(n – 1)}

4096 : 4 = 4^{(n – 1)} [o 4096 passa pro 1º termo com sinal trocado, dividindo]

1024 = 4^{(n – 1)}

4^{(n – 1)} = 1024

Fatorando 1024, temos:

1024] 2

512] 2

256] 2

128] 2

64] 2

32] 2

16] 2

8] 2

4] 2

2] 2

1] Total 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 2¹⁰

Temos:

4^{(n – 1)} = 1024

2^{2(n – 1)} = 2¹⁰ [entenda 4 = 2² e 1024 = 2¹⁰, cortamos as bases, pois são iguais]

2(n – 1) = 10

n – 1 = 10 : 2

n – 1 = 5

n = 5 + 1

n = 6

Temos 6 termos.

Agora basta somar os termos, fórmula de soma de termos de uma P.G:

Sn = (a1 . (qⁿ – 1)) / (q – 1) [como n = 6]

S6 = (a1 . (q⁶ – 1)) / (q – 1)

S6 = (4 . (4⁶ – 1)) / (q – 1)

S6 = (4 . (4096 – 1)) / (4 – 1)

S6 = (4 . 4095) / 3

S6 = 16380 / 3

S6 = 5460

Então a soma é igual a 5460. O que fazemos agora? Simples:

4x + 16x + ... + 4096 = 10920 [como a soma é 5460:]

5460x = 10920

x = 10920 / 5460 [o 5460 passa pro 2º termo dividindo]

x = 2

Resposta: O valor de ‘x’ é igual a 2.