Matemática - Combinações

Fazia muito tempo que Alcides não ia ao banco tirar dinheiro. Quando precisou fazer uma retirada, constatou, desgostoso, que não lembrava da senha de quatro algarismos necessária para o uso do cartão do banco. Recordava apenas que na referida senha não havia o algarismo zero, porém havia certamente algarismos repetidos. Então, o número de possíveis senhas do cartão de Alcides era:

a)     2.931

b)     3.537

c)     4.239

d)     5.723

e)     6.561

Novamente, uma questão que confunde muito a cabeça dos mais sábios matemáticos, mas essa nem é tão complicada se for pensar nas outras duas questões anteriores.

Bom, primeiro, temos os algarismos de 1 ao 9 (pois não há zero), a senha tem 4 dígitos, então, 1º dígito tem 9 possibilidades (os nove números), como disse que poderia haver repetições, então o 2º, 3º, e 4º dígitos também tem 9 possibilidades de números, em combinações multiplicamos o número de possibilidades:

9 . 9 . 9 . 9 = 6561

Temos 6561 possibilidades, no total. Muitos matemáticos errariam aqui, marcariam letra e). Mas não é bem assim.

A questão é clara, que haviam repetições na senha. Então pela lógica, pegava o total de senhas possíveis (6561), e diminuía delas, o número de senhas que não tem repetição. Essa é a lógica, como a senha certamente tem repetição, tiramos do total, aquelas que não tem repetição, e quantas não tem repetição? Simples, no 1º algarismo temos 9 possibilidades (1 ao 9), no 2º não pode ter repetição, então escolhendo qualquer número, teríamos 8 possibilidades (escolhendo o 1, por exemplo, não poderia ser mais escolhido, assim sobrariam de 2 ao 9 – 8 possibilidades), seguindo a mesma linha de raciocínio, o 3º dígito teria 7 possibilidades, o 4º teria 6 possibilidades, assim, temos o número de senhas sem repetição:

9 . 8 . 7 . 6 = 3024

Então, das 6561 senhas no total, tiramos 3024 que não tem repetição:

6561 – 3024 = 3537

A resposta, que era letra e), passou a ser letra b) São 3537 senhas que tem pelo menos uma repetição.

Espero que tenham entendido o cálculo, para os estudantes, e os matemáticos.