Matemática - Combinações

Uma classe tem 10 meninos e 9 meninas. Seu professor necessita formar comissões de 7 crianças, sendo 4 meninos e 3 meninas, que incluíam obrigatoriamente o melhor aluno dentre os meninos e a melhor aluna dentre as meninas. O número possível de comissões é:



a) igual a 2300
b) menor que 2300
c) maior que 2400
d) igual a 2352

Precisamos de 4 meninos e 3 meninas, só que o melhor da classe será escolhido, então o melhor aluno, e a melhor aluna, já ocupam, cada um, 1 vaga, assim, sobra 3 vagas nos meninos e 2 vagas nas meninas. Assim, temos de 10 meninos e 9 meninas, temos agora 9 meninos e 8 meninas,, pois um de cada já foi escolhido, assim, de 9 meninos, vamos escolher 3, fórmula de combinações:
Cn,p = n! / p! . (n - p)!
Onde 'n', número de escolhas possíveis, 'p', número de escolhas dentro das possíveis, no caso, temos 9 meninos (n), para 3 vagas (p), assim:
Cn,p = n! / p! . (n - p)!
C9,3 = 9!/ 3! . (9 - 3)!
C9,3 = 9! / 3! . 6!
Temos fatorial '!', significa que temos que multiplicar todos os termos antecessores a ele até o 1, assim:
C9,3 = 9! / (3! . 6!)
C9,3 = 9 . 8 . 7 . 6! / (3! . 6!)
Uma coisa para economizar tempo, teríamos que fazer 6 . 5 . 4... e depois multiplicar tudo, assim, dividimos o 6!, pelo 6! em parênteses:
C9,3 = 9 . 8 . 7 . 6! / (3! . 6!)
C9,3 = 9 . 8 . 7 . 1 / (3! . 1)
C9,3 = 9 . 8 . 7 / 3 . 2 . 1
C9,3 = 504 / 6
C9,3 = 84
Temos 84 possibilidades de meninos, agora de meninas temos 8 meninas para 2 vagas:
Cn,p = n! / p! . (n - p)!
C8,2 = 8! / 2! . (8 - 2)!
C8,2 = 8! / (2! . 6!)
C8,2 = 8 . 7 . 6! / 2! . 6!
C8,2 = 8 . 7 / 2 . 1
C8,2 = 28
Temos 84 de meninos e 28 de meninas, agora multiplicamos os dois números, pois queremos meninas e meninos:
84 . 28 = 2352
Resposta: Letra D) Podem ser formadas 2352 comissões.