Matemática - Progressão geométrica

A mangueira de um caminhão de bombeiros esta enrolada em forma de espiral.A primeira volta tem 0,5 m de comprimento e,a cada volta,o comprimento tripilca.Sabendo que essa mangueira tem 182 m,quantas voltas foram dadas para enrolá-la?

Temos 0,5m, na primeira espiral, a cada volta, o comprimento triplica, então 2ª volta:

0,5 . 3 = 1,5

3ª volta:

1,5 . 3 = 4,5

Forma-se uma P.G (0,5  ;  1,5  ;  4,5...), e a soma dos termos dessa P.G é igual a 182. Para saber o número de termos dessa P.G (número de voltas para enrolar a mangueira), basta utilizar a fórmula:

Sn = (a1 . (qⁿ – 1)) / (q – 1)

Temos

Sn = 182

a1 = 0,5

q = 3

Sn = (a1 . (qⁿ – 1)) / (q – 1)

182 = (0,5 . (3ⁿ – 1)) / (3 – 1)

182 = (0,5 . (3ⁿ – 1)) / 2

182 . 2 = (0,5 . (3ⁿ – 1))

364 = 0,5 . (3ⁿ – 1)

364 / 0,5 = (3ⁿ – 1)

728 = 3ⁿ – 1

728 + 1 = 3ⁿ

729 = 3ⁿ

3ⁿ = 729

Fatoramos 729:

729] 3

243] 3

81] 3

27] 3

9] 3

3] 3

1] Total = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 3⁶

Substituindo:

3ⁿ = 3⁶ [cortamos as bases, pois são iguais:]

n = 6

Resposta: Temos 6 termos da P.G, então foi necessário 6 voltas para enrolar a mangueira.