Matemática - Juros compostos

João deseja comprar um carro cujo preço a vista, com todos os descontos possíveis, é de R$ 21.000,00 e esse valor não será reajustado nos próximos meses. Ele tem R$ 20.000,00, que pode ser aplicados a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês,e escolhe deixar todo o seu dinheiro aplicado ate que o montante atinja o valor do carro. Para ter o carro, João devera espera:

A) dois meses, e terá a quantia exata.
B) três meses, e terá a quantia exata.
C) três meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 225,00.
D) quatro meses, e terá a quantia exata.
E) quatro meses, e ainda sobrarão, aproximadamente, R$ 430,00

Fórmula de juros compostos:

M = c . (1 + i)^t

Onde 'M' montante, 'c' capital, 'i' taxa e 't' tempo, temos R$ 20.000,00 de capital, taxa de 2% ao mês, porcentagem, número dividido por 100, então 2% é na verdade 2 : 100 = 0,02, e queremos juntar um montante de R$ 21.000,00, em um tempo 't':

M = c . (1 + i)^t

21.000 = 20.000 . (1 + 0,02)^t

21.000 / 20.000 = (1,02)^t [o 20000 passa pro 1º termo com sinal trocado, ao invés de multiplicar passa a dividir]

1,05 = 1,02^t

1,02^t = 1,05

Façamos assim, multipliquemos 1,02 por 1,02 várias vezes até atingir 1,05, ou um número próximo a ele:

1,02 . 1,02 = 1,0404 [2 meses]

1,0404 . 1,02 = 1,0612 [3 meses]

Então, Temos 2 ou 3 meses, substituindo na fórmula:

M = c . (1 + i)^t

M = 20.000 . (1 + 0,02)²

M = 20.000 . 1,02²

M = 20.000 . 1,0404

M = 20.808

Então ele espera 2 meses e têm R$ 20.808,00:

21.000 - 20.808 = 192

Ele espera 2 meses e falta R$ 192,00, ou:

M = c . (1 + i)^t

M = 20.000 . (1 + 0,02)³

M = 20.000 . (1,02)³

M = 20.000 . 1,0612

M = 21.224,16

21.224,16 - 21.000 = 224,16

Resposta: Letra C) Depois de três meses ele terá R$ 21.224,16, ou seja, R$ 225,00 a mais que a quantia que precisa.