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domingo, 7 de julho de 2013

Matemática - Limites (Conceitos Básicos).

Pessoal, só um aviso. Me desculpem. Nessa época eu não sabia muito de limites, derivadas e integrais... Estava no comecinho da faculdade. Qualquer erro que incorrer, me desculpem.



Responda quais os valores das seguintes expressões:

∞/0 = 
∞/∞ = 
0/∞ =
x/0 = , sendo x diferente de 0
x/∞ = , sendo x diferente de 0
∞/x = , sendo x diferente de 0




Veja os seguintes raciocínios:
Qualquer número dividido por 0 é uma indeterminação. Porque? Simples:
1/0 = 
Perceba:
8 / 4 = 2
Pois 2 vezes 4 = 8. Por isso 8 / 4 = 2, porém:
1/0 =
Se for igual a 0, não tem como, pois: 0 . 0 = 0 
Pode ser 1? Não, pois 0 . 1 = 0
Pode ser 2? Não, pois 0 . 2 = 0
Então 1/0 é quanto? Simples, é indefinido, mas tratando de limites pode ser infinito. Porque? Se tratando de limites, nós aplicamos um valor próximo de '0', que não seja zero. Ou seja:
1/0 [poderia ser]
1/0,1 = 10
1/0,01 = 100
1/0,001 = 1000
1/0,0001 = 10000
1/0,00001 = 100000
Perceba que, quanto mais próximo de zero, maior o valor da divisão. No caso, se dividir:
1/0,000000000001 = Um número muito grande.
E quanto mais se aproxima de zero, maior é o número, então ele tende ao infinito, um número muito grande, um número gigantesco. Pode ser qualquer número, infinito divido por zero, 'x' dividido por 0, ou 1 dividido por 0, sempre tende ao infinito quando o divisor tende a zero. Respostas:
∞ / 0 = ∞
x / 0 = ∞


∞ / ∞ = ∞ [Porque?]
Vamos dizer que o primeiro infinito é igual a 10100, um número grande, o outro infinito é igual a 1010, dois números grandes, divididos:
10100 / 1010 = 10(100 - 10) = 1090
Mesmo com a divisão, continua um número muito grande, resposta:
∞ / ∞ = ∞

0 / ∞ = 0
Porque? simples, 0 vezes ∞ é igual a 0, não tem outra alternativa.

x/∞ =
Vamos dizer que 'x' seja qualquer valor, até mesmo 1010, vamos dizer, só que infinito sempre pode ser maior que 'x', não importa o valor de 'x', se x for 10100, por exemplo, nada impede que infinito seja 101000 por exemplo, então ocorre a divisão 'x' por infinito:
10100 / 101000  = 10(100 - 1000) = 10(-900)
O que significa esse 10(-900), simples:
10(-900) = 1 / 10900
O que é um número muito pequeno, se aproxima de zero, seria 0,000000...001, um número muito pequeno, então:
x/∞ = 0
infinito dividido por 'x' é igual a infinito. 
Temos as respostas.

∞/0 = ∞ [tende ao infinito]
∞/∞ = ∞ [tendi ao infinito]
0/∞ = 0
x/0 = ∞ [tende ao infinito]
x/∞ = 0 [tende a zero]
∞/x = ∞ [tende ao infinito]


Lembrando que todos tendem a esses valores, não quer dizer que sejam esses valores. Pra falar a verdade todo número dividido por zero é uma indeterminação, assim como dividido por infinito.

11 comentários:

  1. Por favor, poderia me ajudar com este cálculo
    Lim -> - infinito (x³-5x²)

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    Respostas
    1. Infinito é um número muito grande, por isso, vamos tratar -∞ como um número, como não temos divisão por zero, ou qualquer outra descontinuidade matemática, podemos substituir o -∞ na expressão:
      x^3 - 5x^2 =
      (-∞)^3 - 5 . (-∞)^2 = [Pela regra da potência]
      -(∞^3) - 5 . (+∞^2) =
      -(∞^3) - 5∞^2 =
      Qualquer que seja o número substituído, seja 1, 1 milhão, ou até 1 bilhão, não importa o tamanho, a resposta será negativa (teste com vários números), portanto a resposta é -∞, lembrando que infinito não é número, é apenas a representação de um número grande, por isso, se substituirmos ∞ = 5, teremos:
      -(5^3) -5 . (5^2) =
      -125 - 125 = -250
      Perceba, ∞ = 5, na expressão, e ∞, que é o resultado, é igual a 250. Ou seja, infinito da expressão não é igual a infinito do resultado, é só uma representação, então:
      lim x -> -∞ (x^3 - 5x^2) = -∞
      E o -∞ do x, não é igual necessariamente, ao -∞ do resultado.

      Só mais uma coisa, essa postagem está errada, ∞/∞, por exemplo, pode ser ∞, um número natural, ou apenas não existe, dependendo do caso. E há outros erros que na época eu tinha feito.

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  2. como é a prova de que 1/k^∞ é igual a 1

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  3. Este comentário foi removido pelo autor.

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  4. Isso são indeterminações, você não pode fazer isso.

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  5. Desculpa mas não concordo com ∞/∞ = ∞
    Porque ∞/x = ∞ , desde que x não seja ∞
    E x/∞ = 0, desde que x não seja ∞
    Ou seja, os valores diferentes implica uma indeterminação
    Concluindo, ∞/∞ = indeterminação

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  6. De facto oo/oo é uma indeterminação

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  7. Olá, não entendo pq ∞/∞ não é 1

    Já que não importa quão grande um número é, qnd dividido pelo mesmo valor sempre resulta em 1..

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    Respostas
    1. Começo por dizer que ∞/∞ não é ∞ mas sim uma indeterminação. É uma indeterminação pois se o 1° ∞=10^100 e o 2° ∞=10^10, o resultado seria ∞ (hipoteticamente, se não fosse indeterminação). No entanto, se o 1° ∞=10^10 e o segundo ∞=10^100, o resultado seria <1. Daí ser indeterminação, pois não se consegue saber o resultado. O problema é que ∞ não tem um valor concreto, ou seja, não se pode dar valor a ∞, os números usados servem apenas como exemplo. Espero ter ajudado!

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