Matemática - Teorema de Pitágoras e Equação do 2º grau.

A hipotenusa de um triângulo retângulo tem 25 cm. Determine as medidas dos catetos desse triângulo, sabendo que um deles mede 5 cm mais que o outro:

A hipotenusa vale 25 cm, um dos catetos vale ‘x’, como o outro cateto mede 5 centímetros a mais que o outro, então esse outro cateto é igual a ‘x + 5’, assim, temos, pelo teorema de Pitágoras:

h² = c² + c²

Onde ‘h’ hipotenusa, e ‘c’ são os catetos, lembrando que, apesar de serem representados por ‘c’, os catetos são diferentes, temos:

h = 25

c₁ = x

c₂ = x + 5

h² = c² + c²

25² = x² + (x + 5)²

625 = x² + [(x + 5) . (x + 5)] {Pois é ‘x + 5’ ao quadrado]

625 = x² + x² + 5x + 5x + 25

625 = 2x² + 10x + 25

2x² + 10x + 25 – 625 = 0 [o 625 passa pro 2º termo com sinal trocado, ao invés de + fica -]

2x² + 10x – 600 = 0

Temos uma equação do 2º grau, fórmula de Baskar:

Delta = b² – 4 . a . c

Onde:

a = 2 [pois acompanha x²]

b = 10 [pois acompanha x]

c = -600

Delta = b² – 4 . a . c

Delta = 10² – 4 . 2 . (-600)

Delta = 100 + 4800

Delta = 4900

Valores para os catetos:

x = -b +- raiz de Delta / 2 . a

x = -10 +- raiz de 4900 / 2 . 2

x = (-10 +- 70) / 4

Dois valores para ‘x’:

x’ = (-10 + 70) / 4

x’ = 60 / 4

x’ = 15

x’’ = (-10 – 70) / 4

x’’ = -80 / 4

x’’ = -20

Temos dois valores para os catetos, ou 15 ou -20, porém um cateto não pode ter valor negativo, então temos 15. Então os catetos:

c₁ = x = 15

c₂ = x + 5 = 15 + 5 = 20

Resposta: Os dois catetos valem 15cm, e 20cm, respectivamente.