Matemática - Progressão aritmética

Uma sequência numérica infinita (e1, e2, e3,..., en,...) é tal que a soma dos n termos iniciais é igual a n² + 6n. O quarto termo dessa sequência é igual a

(A) 32

(B) 40

(C) 9

(D) 13

(E) 17

O primeiro termo é igual a “x”, o segundo igual a “x + r”, sendo “r” o aumento gradual da sequência, conhecido como razão. Temos o terceiro termo igual a “x + r + r”, e por fim, o quarto igual a “x + r + r + r”. Um exemplo, na sequência 2, 5, 8, 11... Aumenta 3 unidades de um termo para outro, então essa é a razão, o primeiro termo é x, e x = 2, o 2º termo é x + r, no caso, 2 + 3 = 5. O terceiro, x + r + r = 2 + 3 + 3 = 8. Por isso, temos:

1º termo = x

2º termo = x + r

3º termo = x + 2r

4º termo = x + 3r

Então temos a soma igual a n² + 6n. Primeiro a soma dos dois primeiros termos, como são dos dois primeiros n = 2;

n² +  6n =

2² + 6 . 2 =

4 + 12 = 16

E a soma dos dois primeiros termos é:

x + (x + r)

x + x + r = 16 [pois a soma é 16]

2x + r = 16

r = 16 – 2x [o 2x passa pro 2º termo com sinal trocado]

Temos isso, e por fim, a soma dos quatro primeiros termos:

n² + 6n =

4² + 6 . 4 =

16 + 24 = 40

A soma dos quatro primeiros termos é igual a 40. Então:

x + (x + r) + (x + 2r) + (x + 3r) = 40

x + x + r + x + 2r + x + 3r = 40

x + x + x + x + r + 2r + 3r = 40

4x + 6r = 40 [lembre-se r = 16 – 2x]

4x + 6 . (16 – 2x) = 40

4x + 96 – 12x = 40

4x – 12x = 40 – 96 [o 96 passa pro 2º termo com sinal trocado]

- 8x = -56

x = -56 : (-8) [o -8 passa dividindo]

x = 7

Temos o valor de “x”, agora, valor de “r”:

r = 16 – 2x

r = 16 – 2 . (7)

r = 16 – 14

r = 2

Temos a razão, agora fica fácil o 4º termo:

x + 3r

7 + 3 . 2

7 + 6 = 13

Resposta: Letra D) 13 é o quarto termo.