Matemática - Progressão Aritmética

Quantos algarismos serão utilizados para escrevermos todos os múltiplos pares de 7

presentes no intervalo numérico 42, 43, 44, ....444 ?






Primeiro, temos que identificar quantos números são divisíveis por "7" entre 42 e 444, mas

vamos dividir em dois grupos, primeiro os divisíveis, por "7" entre 42 e 99 e depois os divisíveis

por "7" entre 100 e 444, assim, o primeiro número divisível por "7" seria 42, pois 42 : 7 = 6,

então o primeiro termo é "42", agora, vamos dividir 99 por "7":

99 : 7 = 14,14

Então 99 não é divisível por "7" portanto não é múltiplo de "7", então multiplicamos "7" por 14:

14 . 7 = 98

Então o último termo divisível por "7" é igual a 98, então 98 é igual a "an", e a razão, é claro,

igual a "7", então substituindo:

an = a1 + (n - 1) . r [substituindo todos os valores:]

98 = 42 + (n - 1) . 7

98 - 42 = (n - 1) . 7

56 = (n - 1) . 7

56 : 7 = (n - 1)

8 = n - 1

8 + 1 = n

9 = n

n = 9

Então temos 9 números divisíveis por "7" entre 42 e 99, então cada múltiplo de "7" entre 42 e

99 tem 2 algarismos, então multipliquemos 9 por 2:

9 . 2 = 18

Então temos 18 algarismos entre 42 e 99, agora, quantos números divisíveis por "7" há entre

100 e 444? simples:

100 : 7 = 14,2

Então 100 não é divisível por "7", multipliquemos "7" por 15, então:

15 . 7 = 105

Então 105 é o primeiro número maior que 100 que é divisível por "7", então 105 é o primeiro

termo (a1), agora, dividindo 444 por 7:

444 : 7 = 63,4

Dá uma conta inexata, então 444 não é múltiplo de "7", então multiplicamos 7 por 63:

7 . 63 = 441

441 é o último termo divisível por "7", no caso "an", razão é "7", substituindo:

an = a1 + (n - 1) . r

441 = 105 + (n - 1) . 7

441 - 105 = (n - 1) . 7

336 = (n - 1) . 7

336 : 7 = n - 1

48 = n - 1

48 + 1 = n

49 = n

n = 49

Temos 49 números divisíveis por "7" entre 100 e 444, cada um com 3 algarismo, multiplicando:

49 . 3 = 147

147 algarismos, mais 18 algarismos entre 42 e 99, então:

147 + 18 = 165

Resposta: entre 42 e 444, para escrever todos os números divisíveis por "7" é necessário 165

algarismos.