Matemática - Combinações

Em um grupo de 10 pessoas,entre as quais Ana e Bruno,serão escolhidas ao acaso 3 pessoas distintas

para formar uma comissão.A probabilidade de que Ana ou Bruno façam parte dessa comissão é igual a :

Resposta é 8/15





Fórmula de combinações:

Cn,p = n! : (p! . (n - p)!)

Onde "n", número total de pessoas, no caso "10", e "p", número de pessoas dentro das totais, ou seja, "3",

pois iremos escolher "3" pessoas ao acaso:

Cn,p = n! : (p! . (n - p)!)

C10,3 = 10! : (3! . (10 - 3)!)

C10,3 = 10! : (3! . 7!)

Agora, o que significa esse símbolo "!", fatorial? Simples, quando ele está presente quer dizer para

multiplicar todos os antecessores dele até o "1", assim, 5!, por exemplo, seria 5 . 4 . 3 . 2 . 1, então

fazemos:

C10,3 = 10! : (3! . 7!)

C10,3 = 10 . 9 . 8 . 7! : (3! . 7!)

Uma coisa para economizar tempo, veja que o 7!, está sendo dividido pelo "7!", em parênteses, então

números iguais divididos é igual a "1":

C10,3 = 10 . 9 . 8 . 7! : (3! . 7!)

C10,3 = 10 . 9 . 8 . 1 : (3! . 1)

C10,3 = 10 . 9 . 8 : (3 . 2 . 1)

C10,3 = 720 : 6

C10,3 = 120

Temos 120 possíveis combinações de pessoas, agora, queremos que Ana ou Bruno participem da

comissão, dessa forma, primeiro a probabilidade de Ana participar, simples, das 10 pessoas, tira uma

(Ana), ficariam 9 pessoas, das 3 vagas para a comissão, sobram "2", pois "1" vaga já é ocupada por

"Ana", assim:

Cn,p = n! : (p! . (n - p)!)

C9,2 = 9! : (2! . (9 - 2)!)

C9,2 = 9! : (2! . 7!)

C9,2 = 9 . 8 . 7! : (2! . 7!)

C9,2 = 9 . 8 . 1 : (2! . 1)

C9,2 = 9 . 8 : (2 . 1)

C9,2 = 72 : 2

C9,2 = 36

Então temos 36 comissões onde Ana poderia participar, da mesma forma Bruno (pois tira "Bruno", das 10

pessoas, e tira uma vaga ocupada por Bruno), assim, temos: 36 . 2 = 72, temos 72 comissões onde

participa Ana ou Bruno, mas ainda tem mais, queremos apenas as comissões que participem ou Ana, ou

Bruno, as 72 comissões participam "Ana", Bruno, ou ainda Ana e Bruno, temos que "tirar" as comissões

"Ana e Bruno", para isso, temos 10 pessoas, tira "2" (que é Ana e Bruno), temos 8 pessoas das quais

escolhe "1" (pois as outras duas vagas são de Ana e Bruno):

Cn,p = n! : (p! : (n - p)!)

C8,1 = 8! : (1! : (8 - 1)!)

C8,1 = 8! : (7!)

C8,1 = 8 . 7! : (7!)

C8,1 = 8 . 1

C8,1 = 8

Então ocorre assim, temos 120 comissões possíveis, dessas 72 tem Ana ou Bruno, tira dessas 72, "8"

comissões, pois essas 8 tem Ana e Bruno (e queremos apenas "Ana", ou apenas "Bruno", tirando:

72 - 8 = 64

Então das 120 comissões 64 tem Ana ou Bruno, então a probabilidade seria de:

64 : 120 [simplificando por "8":]

(64 : 8) / (120 : 8)

8/15

Resposta: 8/15 a probabilidade.