Matemática Financeira

Sejam os seguintes pagamentos: 10 prestações mensais de $ 800,00,

vencendo a 1ª de hoje a um mês e 6 prestações trimestrais de $ 2.400,00 cada, vencendo a 1ª três

meses após o término dos pagamentos acima. Considerando uma taxa de juros de 4,2% a.m (juros

compostos), determine o valor presente do fluxo acima.






Fórmula de renda postecipada (sem entrada, afinal a primeira prestação ocorre daqui a 1 mês), temos:

P = PMT . [(1 + i)^n - 1 : (1 + i)^n . i]

Onde "P", valor atual da dívida, "PMT", valor das prestações, "i" taxa e "n" número de prestações,

inicialmente temos, prestações de R$ 800,00, 10 prestações, e juros de 4,2% ao mês, porcentagem,

número dividido por 100, então 4,2% é na verdade 4,2 : 100 = 0,042, substituindo:

PMT = 800

n = 10

i = 0,042

P = PMT . [(1 + i)^n - 1 : (1 + i)^n . i]

P = 800 . [(1 + 0,042)^10 - 1 : (1 + 0,042)^10 . 0,042]

P = 800 . [(1,042)^10 - 1 : (1,042)^10 . 0,042]

P = 800 . [1,5089 - 1 : (1,5089 . 0,042)]

P = 800 . [0,5089 : 0,06337]

P = 800 . 8,0315

P = 6425,20

Espero que tenha entendido os cálculos até aqui, sendo "^" elevado, só conseguindo fazer 1,042^10

através de calculadora científica. Então a dívida inicial era de R$ 6.425,20, só que houve outras

prestações no valor de R$ 2.400,00, sendo 6 prestações (depois do pagamento das outras 10), e taxa de

uros de 4,2% ao mês, porém, como as novas prestações são trimestrais, a nova taxa tem que ser

trimestral, para isso, somamos a taxa (0,042), com 1 (1,042), e elevamos por 3 (trimestre, 3 meses):

1,042^3 = 1,1313

diminuimos por 1:

1,1313 - 1 = 0,1313

A nova taxa é de 0,1313 ao trimestre, substituindo:

PMT = 2400

n = 6

i = 0,1313

P = PMT . [(1 + i)^n - 1 : (1 + i)^n . i]

P = 2400 . [(1 + 0,1313)^6 - 1 : (1 + 0,1313)^6 . 0,1313]

P = 2400 . [(1,1313)^6 - 1 : (1,1313)^6 . 0,1313]

P = 2400 . [2,0970 - 1 : (2,0970 . 0,1313)]

P = 2400 . [1,0970 : 0,2753]

P = 2400 . 3,9851

P = 9.564,24

Então a dívida era de R$ 6425,20, e mais R$ 9.564,24, mas não é bem assim, Deve-se pensar que os R$

9.564,24 gerava juros compostos de 4,2% ao mês, durante os 10 meses anteriores, porque? Simples, nos

10 meses anteriores estava pagando R$ 6.425,20, enquanto a dívida de R$ 9564,20 não era paga e

economizava juros e mais juros, então para saber o verdadeiro valor temos que ter a fórmula:

M = c . (1 + i)^t

Onde "M", montante R$ 9.564,20 que era os juros mais a dívida real, "c" capital, dívida real que queremos

descobrir, "i" taxa de 0,042, e tempo de 10 meses (os 10 meses que passou pagando a outra dívida):

M = c . (1 + i)^t

9.564,20 = c . (1 + 0,042)^10

9.564,20 = c . 1,042^10

9.564,20 = c . 1,5089

9.564,20 : 1,5089 = c [o 1,5 passa pro 1º termo dividindo]

6.338,52 = c

O valor real da dívida era R$ 6.338,52, mais os R$ 6425,20:

6.338,52 + 6.425,20 = 12.763,72

Resposta: A dívida inicial era de R$ 12.763,72.