Matemática - Progressão aritmética

Encontre a P. A. em que: A1 + A3 = -6 e 2A4 + A5 = 5




Primeiro temos:

a1 + a3 = -6

2a4 + a5 = 5

Agora, só falta descobrir os valores de "a3", "a4", e "a5", assim, temos a fórmula de termo geral

de uma P.A:

an = a1 + (n - 1) . r [para descobrir o valor de "a3" por exemplo, temos que substituir "n" por 3:]

a3 = a1 + (3 - 1) . r

a3 = a1 + 2 . r

Temos o valor de "a3", agora "a4":

an = a1 + (n - 1) . r

a4 = a1 + (4 - 1) . r

a4 = a1 + 3 . r

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an = a1 + (n - 1) . r

a5 = a1 + (5 - 1) . r

a5 = a1 + 4 . r

Temos os valores, agora substituindo:

a1 + a3 = -6 [valor de "a3":]

a1 + (a1 + 2r) = -6

a1 + a1 + 2r = -6

2a1 + 2r = -6 [1ª expressão]

Agora:

2 . (a4) + a5 = 5

2 . (a1 + 3r) + (a1 + 4r) = 5

2a1 + 6r + a1 + 4r = 5 [o 2 multiplica todos os termos em parênteses]

2a1 + a1 + 6r + 4r = 5

3a1 + 10r = 5 [2ª expressão]

Agora para descobrir os valores temos, a primeira expressão:

2a1 + 2r = -6

2a1 = -6 - 2r [o 2r passa com sinal trocado]

a1 = (-6 - 2r) : 2

a1 = -3 - r

Temos o valor de "a1", agora:

3a1 + 10r = 5 [substituindo o valor de "a1":]

3 . (-3 -r) + 10r = 5

- 9 - 3r + 10r = 5

-3r + 10r = 5 + 9 [o -9 passa com sinal trocado, ao invés de - fica +]

+ 7r = + 14

r = 14 : 7 [o 7 passa dividindo]

r = 2

Então temos a razão,"r" = 2, agora:

2a1 + 2r = -6 [valor de "r":]

2a1 + 2 . 2 = -6

2a1 + 4 = -6

2a1 = -6 - 4 [o 4 passa pro 2º termo com sinal trocado, ao invés de + fica -]

2a1 = -10

a1 = -10 : 2 [o 2 passa dividindo]

a1 = -5

Temos o valor do primeiro termo "-5", e de "r" = 2, agora, o que a questão pede? Pede a P.A,

então fórmula de termo geral:

an = a1 + (n - 1) . r [descobrimos o valor de "a1" e "r", então substituimos:]

an = -5 + (n - 1) . 2

Agora, com essas fórmulas podemos encontrar qualquer termo, por exemplo, "a2", 2º termo:

an = -5 + (n - 1) . 2

a2 = -5 + (2 - 1) . 2

a2 = -5 + 1 . 2

a2 = -5 + 2

a2 = -3

Valor de "a3":

an = -5 + (n - 1) . 2

a3 = -5 + (3 - 1) . 2

a3 = -5 + 2 . 2

a3 = -5 + 4

a3 = -1

Então temos por enquanto 3 termos, P.A = {-5, -3, -1...}