Matemática - Progressão aritmética

Quantos algarismos utilizo para escrever todos os

multiplos de 3 compreenditos entre 23 e 314?





Primeiro temos que saber quantos múltiplos de "3" se encontram entre "23 e 314", para falar a

verdade, vamos fazer assim, múltiplos de "3" entre 23 e 99, e múltiplos de "3" entre 100 e 314,

certo? Vai facilitar no final. Então múltiplos de "3" entre 23 e 99, o primeiro múltiplo de "3", seria

o 24, pois o "24 : 3 = 8", múltiplo de "3", então "24 é "a1", o primeiro termo dessa P.A, e "99", é

o último termo "an" dessa P.A, pois é o último número divisível por "3", e a razão é "3", pois de

um múltiplo de "3" para outro, sempre aumenta "3" unidades, assim, pela fórmula de P.A:

an = a1 + (n - 1) . r

Onde "an" um termo qualquer, "a1" primeiro termo, e "r" a razão, já falei que:

an = 99

a1 = 24

r = 3

Queremos descobrir "n", número de termos dessa P.A, substituindo:

an = a1 + (n - 1) . r

99 = 24 + (n - 1) . 3

99 - 24 = (n - 1) . 3 [o 24 passa pro 1º termo com sinal trocado, ao invés de + fica -]

75 = (n - 1) . 3

75 : 3 = n - 1 [o 3 passa pro 1º termo dividindo]

25 = n - 1

25 + 1 = n

26 = n

n = 26

Agora, temos entre 23 e 99 exatamente 26 números divisíveis por "3", então cada um desses

múltiplos tem dois algarismos, o 24, 27, todos tem 2 algarismos, como temos 26 números de

"2" algarismos, então multiplicamos:

26 . 2 = 52

Temos 52 algarismos por enquanto, agora, entre 100 e 314, tem quantos múltiplos de "3"?

Simples:

100 : 3 = 33,3

Então a divisão deu errado, então "100", não é múltiplo de "3", então multiplicamos "3" pelo

número maior e mais próximo de "33,3", ou seja, 34:

34 . 3 = 102

Então 102 é o primeiro número divisível por "3", então "a1" = 102, vamos fazer o mesmo

esquema para descobrir o último termo divisível por "3", então dividimos "314" por 3:

314 : 3 = 104,6

Então multiplicamos "3" pelo número menor que 104,6, ou seja, o próprio 104:

3 . 104 = 312

Então 312 último número divisível por "3", e razão, lógico, "3", assim:

an = a1 + (n - 1) . r [substituindo os valores:]

312 = 102 + (n - 1) . 3

312 - 102 = (n - 1) . 3

210 = (n - 1) . 3

210 : 3 = (n - 1)

70 = n - 1

70 + 1 = n

n = 71

Então entre 100 e 314 temos 71 números divisíveis por "3", cada um tem 3 algarismos, 102,

105, 108, todos três algarismos, então multiplicamos 71 por 3 algarismos cada:

71 . 3 = 213

Então entre 23 e 99 temos 52 algarismos, e entre 100 e 314 temos 213 algarismos, somando

os dois valores:

52 + 213 = 265

Resposta: Entre 23 e 314 utiliza-se 265 algarismos para escrever os múltiplos de "3".