Matemática - Progressão aritmética

Determine uma pa em que a soma dos 10 termos iniciais é 130 e a soma dos 50 termos iniciais é 3650.

Fórmula de soma de uma P.A:

Sn = (a1 + an) . n : 2

Agora, a soma dos 10 primeiros termos é igual a 130, então "n = 10":

Sn = (a1 + an) . n : 2

S10 = (a1 + a10) . 10 : 2 [S10 = 130]

130 = (a1 + a10) . 5

130 : 5 = a1 + a10 [o 5 passa pro 1º termo dividindo]

26 = a1 + a10

Temos isso, agora, a soma dos outros 50 termos é igual a 3.650, então "n = 50"]

Sn = (a1 + an) . n : 2

S50 = (a1 + a50) . 50 : 2

S50 = (a1 + a50) . 25 [S50 = 3.650]

3.650 = (a1 + a50) . 25

3.650 : 25 = (a1 + a50)

146 = (a1 + a50)

Por enquanto temos apenas duas expressões:

a1 + a10 = 26

a1 + a50 = 146

Então vamos descobrimos os valores de "a10" e "a50":

an = a1 + (n - 1) . r ["n = 10"]

a10 = a1 + (10 - 1) . r

a10 = a1 + 9 . r

Valor de "a50":

an = a1 + (n - 1) . r

a50 = a1 + (50 - 1) . r

a50 = a1 + 49 . r

Temos os valores substituindo:

a1 + a10 = 26

a1 + (a1 + 9r) = 26

a1 + a1 + 9r = 26

2a1 = 26 - 9r [o "9r" passa pro 2º termo com sinal trocado]

a1 = (26 - 9r) : 2 [o "2" passa dividindo]

a1 = 13 - 4,5r [o "2" divide todos os termos em parênteses]

Temos isso, agora, a outra expressão:

a1 + a50 = 146 [valor de "a1" e "a50":]

(13 - 4,5r) + a50 = 146

13 - 4,5r + (a1 + 49r) = 146 [valor de "a1"]

13 - 4,5r + 13 - 4,5r + 49r = 146

- 4,5r - 4,5r + 49r + 13 + 13 = 146

-9r + 49r + 26 = 146

+ 40r = 146 - 26

40r = 120

r = 120 : 40

r = 3

Temos a razão, agora fica fácil:

a1 + a10 = 26

a1 + a1 + 9r = 26 [valor de "r = 3"]

2a1 + 9r = 26

2a1 + 9 . 3 = 26

2a1 + 27 = 26

2a1 = 26 - 27

2a1 = -1

a1 = -1 : 2

a1 = -0,5

Temos os valores de "a1" e "r", determinamos a razão:

an = a1 + (n - 1) . r

an = -0,5 + (n - 1) . 3

Temos isso, essa é a P.A, com essa fórmula e esses valores pode encontrar qualquer termo da P.A;