Matemática - Conjuntos

(PUC - Rio - RJ) Uma população consome três marcas de sabão em pó: A, B, C. Feita uma pesquisa de mercado, colheram-se os resultados tabelados abaixo. Determine o número de pessoas consultadas:

A - 105
B - 200
C - 160
A e B - 25
B e C - 40
A e C - 25
A, B e C - 5
Nenhuma das três - 120


Pela fórmula:
AUB = A + B + ANB
Onde A e B são conjuntos. AUB é a união dos dois conjuntos, e ANB é a intersecção entre os dois conjuntos. Para questão podemos adaptar a fórmula da seguinte maneira:

AUBUC = A + B + C - ANB - ANC - BNC - ANBNC

Onde AUBUC são as pessoas que consomem os produtos A, ou B, ou C, ou todos os três.
A, B, C pessoas que consomem respectivamente os produtos A, B, C.
ANB pessoas que consomem os produtos A e B simultaneamente
ANC pessoas que consomem os produtos A e C simultaneamente
BNC pessoas que consomem os produtos B e C simultaneamente
ANBNC pessoas que consomem os produtos A, B e C simultaneamente

Assim, pela questão, temos:
A = 150
B = 200
C = 160
ANB = 25
BNC = 40
ANC = 25
ANBNC = 5

AUBUC = A + B + C - ANB - ANC - BNC - ANBNC
AUBUC = 105 + 200 + 160 - 25 - 40 - 25 - 5
AUBUC = 370

370 pessoas consomem pelo menos um dos produtos, mas 120 pessoas não consomem nenhum:
370+120 = 490

Resposta: Foram entrevistadas 490 pessoas.