Matemática - Logaritmos

Para realizar a viagem dos sonhos, uma pessoa precisava fazer um empréstimo no valor de R$ 5000,00. Para pagar as prestações, dispões de, no máximo R$ 400,00 mensais. Para esse valor de empréstimo, o valor da prestação (P) é calculado em função do número de prestações (n) segundo a fórmula:

P = (5000 x 1,013n x 0,013) / (1,013n - 1)

Se necessário, utilize 0,005 como aproximação para log 1,013; 2,602 como aproximação para log 400; 2,525 como aproximação para log 335.

De acordo com a fórmula dada, o menor número de parcelas cujos valores não comprometem o limite definido pela pessoa é:

a) 12
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17




P = (5000 x 1,013n x 0,013) / (1,013n - 1)  [P = 400 (no máximo), temos:]
400 = (65 . 1,013n)/ (1,013n - 1)
400 . (1,013n - 1) = 65 . 1,013n  [o  (1,013n - 1) passa para o outro lado multiplicando, já que estava dividindo]
Tratamos o 1,013n Como se fosse x:
400 . (x - 1) = 65 . x
400x - 400 = 65x
400x - 65x = 400
335x = 400
x = 400 / 335
Lembre-se x = 1,013n
1,013n = 400 / 335
Colocando em logaritmo na base 10 os dois lados da expressão temos:
log 1,013n = log (400/335)

Propriedade dos logaritmos:

log xn = n . (log x)
log (a / b) = log a - log b
log (a . b) = log a + log b
Assim, temos:

log 1,013n = log (400/335)
n . log 1,013 = log 400 - log 335
Pela questão, temos os valores: log 1,013 = 0,005; log 400 = 2,602; log 335 = 2,525; Temos:
n . 0,005 = 2,602 - 2,525
n = 0,077 / 0,005
n = 15,4

Sendo que 400 é o máximo que as prestações devem custar, para ser abaixo disso, tem que ser mais prestações, no caso 16:

Resposta: Letra d) 16.