Cálculo - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.2 - O limite de uma função

37. (a) Calcule a função f(x) = x2 - (2x/1000) para x = 1,  0,8,  0,6,  0,4, 0,2,  0,1,  e 0,05 e faça uma conjectura sobre o valor de

b) Calcule f(x) para x = 0,04,  0,02,  0,01,  0,005,  0,003,  e 0,001. Faça uma nova conjectura.




Nesse capítulo inicial de limites, o livro resolve as questões substituindo os valores de x na função dada, e verificando se há limites. Então substituiremos os 4 valores finais de cada série, para economizar tempo:

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,4]
f(0,4) = 0,42 - (20,4/1000)
f(0,4) = 0,16 - 0,0013195
f(0,4) = 0,1586

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,2]
f(0,2) = 0,22 - (20,2/1000)
f(0,2) = 0,04 - 0,0011486 
f(0,2) = 0,03885

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,1]
f(0,1) = 0,12 - (20,1/1000)
f(0,1) = 0,01 - 0,00107
f(0,1) = 0,00892

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,05]
f(0,05) = 0,052 - (20,05/1000)

f(0,05) = 0,0025 - 0,001035

f(0,05) = 0,001465

Pelos resultados obtidos quando x se aproxima de zero, o resultado da função aproxima-se de zero também. Pode-se conjecturar que o limite da função quando x tende a zero é igual a zero.

b) Calcule f(x) para x = 0,04,  0,02,  0,01,  0,005,  0,003,  e 0,001. 

Para os 3 últimos valores:

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,005]
f(0,005) = 0,0052 - (20,005/1000)
f(0,005) = 0,000025 - 0,00100347
f(0,005) = -0,00097847

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,003]
f(0,003) = 0,0032 - (20,003/1000)
f(0,003) = 0,000009 - 0,0012081
f(0,003) = -0,00099308

f(x) = x2 - (2x/1000) [para 0,001]
f(0,001) = 0,0012 - (20,001/1000)
f(0,001) = 0,000001 - 0,00100069
f(0,001) = -0,00099969

A nova conjectura, parece que o limite tende a -0,001, de fato, se substituirmos x por 0 na expressão, teremos -0,001.

f(0) = 02 - (20/1000)

f(0) = 0 - 1/1000

f(0) = -0,001