Funções - Cálculo 1

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 1.1

57. Uma caixa sem tampa deve ser construída de um pedaço retangular de papelão com dimensões 12cm por 20cm. Para isso, devem-se cortar quadrados de lados x de cada canto e depois dobrar, conforme mostra a figura. Expresse o volume V da caixa como uma função de x.

O Volume da caixa será dados pela multiplicação dos lados. O primeiro lado será 20, menos os 2x que serão usados para altura:
L1 = 20 - 2x
O segundo lado, será os 12 cm, menos os 2x:
L2 = 12 - 2x
O terceiro lado será a altura, que é x, quando a caixa for dobrada:
L3 = x 
Total:

V = L1 . L2 . L3
V = (20 - 2x) . (12 - 2x) . x
V = (240 - 40x -24x + 4x^2) . x
V = 4x^3 - 64x^2 + 240x

Temos esse volume. Os valores de x devem ser tais que o volume não seja nem negativo nem nulo. Por isso, fazemos:

V = 4x^3 - 64x^2 + 240x = 0
4x^2 - 64x + 240 = 0 [dividimos os dois lados da equação por zero].
Equação do 2º grau:

Δ = b^2 - 4 . a . c
Δ = (-64)^2 - 4 . 4 . 240
Δ = 256

x = (- b +- √Δ) / 2 . a

x' = (- (-64) + √256) / 2 . 4
x' = (+64 + 16) / 8
x' = 10

x'' = (64 - 16) / 8
x'' = 6

A terceira solução para equação do 3º grau é 0, porque:
4x^3 - 64x^2 + 240x =
4 . 0 - 64 . 0 + 240 . 0 = 0

Fazendo a esquerda de zero: (-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,)

4 . (-1)^3 - 64 . (-1)^2 + 240 . (-1) = - 308 [a esquerda de zero não é domínio]

Direita de zero:

4 . (1)^3 - 64 . (1)^2 + 240 . 1 = 180 [a direita de zero é domínio, porque é positivo]

A direita de 6:

4 . (5)^3 - 64 . (5)^2 + 240 . 5 = 100 [a esquerda de 6 é domínio]

A esquerda de 6:

4 . (7)^3 - 64 . (7)^2 + 240 . 7 = -84 [a direita de 6 não é domínio]

Fazendo o mesmo para 10, constatamos que tanto para 9 quanto para 11, são números negativos, portanto, o intervalo é de 0 até 6.

Domínio: (0, 6).