Funções - Cálculo

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 1.1

53. Expresse a área de um triângulo equilátero como uma função do comprimento de um lado.



Temos um triângulo equilátero, três lados iguais:

Como qualquer triângulo, a área é dada por base vezes altura dividida por 2:

A = (b . h) / 2

A base já temos que é um dos lados L. A altura é dada por:

Pelo teorema de Pitágoras, o maior dos lados "L" é a hipotenusa, e pela fórmula:
hipotenusa^2 = (cateto1)^2 + (cateto2)^2 [Temos:]
L^2 = h^2 + (L/2)^2
L^2 = h^2 + (L^2) / 4 [como queremos a altura]
h^2 = L^2 - (L^2)/4
h^2 = (4L^2 - L^2) / 4
h^2 = 3L^2/4
h = (L/2) . √3

Temos portanto a área:

A = (b . h) / 2
A = (L . L/2 . √3) / 2
A = (L^2) . √3 / 4

Essa é a resposta, a área em função dos lados do triângulo.