Funções - Cálculo

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 1.1

51. Um retângulo tem um perímetro de 20 metros. Expresse a área do retângulo como uma função do comprimento de um dos seus lados.




O retângulo possui dois lados distintos:

A área do retângulo é dada pela multiplicação dos dois lados:

A = a . b

A questão pede que fique em função de apenas um dos lados, para isso é dado o perímetro do retângulo, o perímetro é a soma de todos os lados:

Perímetro = 2 . a + 2. b
20 = 2a + 2b
2b = 20 - 2a
b = (20 - 2a) / 2
b = 10 - a

Temos então o valor de um dos lados:

A = a . b
A = a . (10 - a)
A = 10a - a^2

O intervalo de 'a' é tal que a área não seja nem negativa nem nula, então:

10a - a^2 = 0 [se a = 0]
0 = 0

10a - a^2 = 0
10a = a^2
a = 10

Então o intervalo de a é maior que 0 e menor que 10, podendo ser apenas valores próximos a esses dois números, por isso 'aberto' o parênteses:

a = (0, 10)
A = 10a - a^2