Funções - Cálculo

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 1.1

Encontre o domínio da função.

31. h(x) = 1 / (⁴√(x2 - 5x))




Sendo ⁴√ a raiz a quarta potência. 
Os domínios de funções são os valores de 'x' tal que a função exista. Como é uma raiz de coeficiente par, não pode ser negativo o número entre parênteses. Como a raiz esta dividindo a operação, tem que ser diferente de zero, porque não são permitidas divisões por zero. 
Então pegamos a expressão entre parênteses, e vemos com quais valores ela pode ser zero:
x^2 - 5x = 0
Caso x = 0, então 
0 = 0 [zero é uma das soluções]

x^2 - 5x = 0
x^2 = 5x
x = 5 [cinco é uma das soluções]

Então x não pode ser nem 0 nem 5, para não zerar o denominador. Só que o denominador também deve ser positivo. Fazemos assim:
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 

Pode-se dizer que -3, -2, -1, estão a esquerda de zero, e 1, 2, 3, estão a direita. Vamos pegar o número mais próximo de zero pela esquerda, para ver se o valor da função será positivo ou negativo, para facilitar o inteiro mais próximo:

x^2 - 5x =
(-1)^2 - 5 . (-1) =
+1 + 5 = 6

Então é positivo, está condizente com a função, então todo o lado esquerdo do zero é domínio da função, seria -∞ até zero, sem poder tocar no zero, portanto aberto, e agora pelo lado direito:

x^2 - 5x =
(1)^2 - 5 . (1) =
1 - 5 = -4

Número negativo, portanto de zero a esquerda não pode ser domínio da função. Agora o número 5, pela esquerda:
x^2 - 5x
4^2 - 5 . 4 =
16 - 20 =
-4
Pelo lado esquerdo de 5 não pode ser domínio.

Direita de 5:

x^2 - 5x =
6^2 - 5 . 6 =
36 - 30 =
6

Valor positivo, portanto a direita de 5 é domínio da função até o +∞

Então temos o intervalo:
x tal que x ≠ 0, e x ≠ 5.

(-∞, 0) e (5, +∞)