Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

21-28 . Explique, usando os Teoremas 4, 5, 7 e 9, por que a função é contínua em todo o número em seu domínio. Diga o Domínio.

27.

Os teoremas do capítulo 2.5, dizem o seguinte:

4 - Se f e g forem contínuas em a, e se c for constante, então as funções são contínuas em a:

1. f + g                       2. f - g                3. cf                   4. fg                         5. f/g (se g(a) ≠ 0)


5 - a) Qualquer polinômio é contínuo em todo conjunto dos reais.
b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida em seu domínio.


7 - Os seguintes tipos de funções são contínuas para todo número em seu domínio. 
polinômios              funções racionais                  funções raízes                         funções trigonométricas
funções trigonométricas inversas                         funções exponenciais              funções logarítmicas.


9 - Se g for contínua em a e f em g(a), então a função composta f º g dada por (f º g)(x) = f(g(x)) é contínua em a.



Teorema 9, temos f º g contínua se f e g forem contínuas. Então, temos g = t^4 - 1, e f = ln (g)
Pelo teorema 7, funções logarítmicas e polinomiais são contínuas em seus domínios, portanto a função é contínua, porém não existe logaritmo negativo ou igual a zero, portanto:

t^4 - 1 > 0
t^4 > 1
t > 1^(1/4)
t > ±1

Dessa forma t tem que ser menor que -1, ou maior que +1, dessa forma o intervalo:
(-∞, -1)
(1, ∞)