Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

51-52. (a) Demonstre que a equação tem pelo menos uma raiz real. 
(b) Use sua calculadora para encontrar um intervalo de comprimento 0,01 que contenha a raiz.

51. 

O capítulo 2.5 mostra o teorema do valor intermediário, se f é uma função contínua, em um intervalo [a, b], e N é um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b), então existe um número c entre a e b, tal que f(c) = N.

Basta encontrar para nossa expressão os números aproximados a e b, para atender a raiz da expressão, temos:

e^x = 2 - x
e^x - 2 + x = 0

A raiz é zero seguindo essa expressão. Temos uma função exponencial, e um polinômio, portanto funções contínuas e a soma delas também é contínua. Então fazendo o valor igual a -1 e 1, valores próximos:

e^(-1) - 2 - 1 =
0,3678 - 2 - 1 =
-2,63212

e^1 - 2 + 1 =
2,7182 - 2 + 1 =
1,71828

Temos dois valores, entre eles o zero:

-2,63 < 0 < 1,72

Portanto, existe raiz real.
Tirando a média dos dois números, resulta 'x = 0', então temos:

e^x - 2 + x =
e^0 - 2 + 0 =
1 - 2 + 0 = -1

A raiz está entre 0 e 1, então, 0,5:

e^x - 2 + x =
e^0,5 - 2 + 0,5 =
1,648 - 2 + 0,5 =
0,1487

Com 0,4, já que foi bem próximo:

e^x - 2 + x =
e^0,4 - 2 + 0,4 =
1,4918 - 2 + 0,4 =
-0,1081

Está entre 0,4 e 0,5:

e^x - 2 + x =
e^0,45 - 2 + 0,45 =
0,01831

Que é um número bem próximo de 0, portanto podemos admitir a raiz como sendo 0,45.