Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

61. Existe um número que é exatamente um a mais que seu cubo?




Se o número é 'x' e ele for igual a um a mais que seu cubo, teríamos:

x = 1 + x^3

Passando para o outro lado:

x^3 - x + 1 = 0

O capítulo 2.5 mostra o teorema do valor intermediário, se f é uma função contínua, em um intervalo [a, b], e N é um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b), então existe um número c entre a e b, tal que f(c) = N.

As funções polinomiais são contínuas, portanto só precisamos provar o teorema do valor intermediário, começamos com os valores -1 e +1

x^3 - x + 1 =
(-1)^3 - (-1) + 1 =
-1 + 1 + 1 =
1

x^3 - x + 1
1^3 - 1 + 1 =
1 - 1 + 1 = 
1

A única possibilidade seria, entre -1 e +1, os resultados da função aumentarem ou diminuírem (começando em 1), e depois tenderem novamente a +1. Fazendo com '0'.

x^3 - x + 1 =
0 - 0 + 1 =
1

Entre 0 e 1, então escolhemos 0,5:

x^3 - x + 1 =
0,5^3 - 0,5 + 1 =
0,625

Percebemos que não encontraremos resultados com números positivos, tentamos (-0,5):

x^3 - x + 1
(-0,5)^3 - (-0,5) + 1 =
-0,125 +0,5 + 1 =
1,375

Não encontramos resultado. Então usamos um número menor que -1, temos, com -1,5

x^3 - x + 1
(-1,5)^3 - (-1,5) + 1 =
-3,375 + 1,5 + 1 =
-0,875

Valores menores ainda, -2:

x^3 - x + 1
(-2)^3 - (-2) + 1 =
-8 + 2 + 1 =
-5

Então temos algo entre (-1,5 e -1), testamos -1,25:

x^3 - x + 1
(-1,25)^3 - (-1,25) + 1 =
-1,953 + 1,25 + 1 =
+0,2968

Temos números próximos de 0 agora. Fazendo no gráfico [que já cansou de tanto fazer conta], temos que a função tem raiz real, ou seja, quando é igual a zero, em aproximadamente -1,32:

Observamos também a confusão entre -1 e 1. Quando x assume os valores -1, 0, 1, por isso não deu para identificar a raiz de início.