Matemática - Limites

Cálculo Volume I - 6ª Edição
Autor: James Stewart

Capítulo 2 - Limites e Derivadas
Capítulo 2.5 - Continuidade

47-50 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que existe uma raiz da equação dada no intervalo especificado. 

49.

O capítulo 2.5 mostra o teorema do valor intermediário, se f é uma função contínua, em um intervalo [a, b], e N é um número qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b), então existe um número c entre a e b, tal que f(c) = N.

Na nossa questão já é dado os dois valores a e b, (0,1), e as funções são contínuas, 'x' é um polinômio, cos x uma função trigonométrica, temos:

cos(x) = x 
x - cos(x) = 0 [substituímos os valores]

x - cos(x) = 0
0 - cos(0) =
0 - 1 = -1

x - cos(x) = 0
1 - cos(1) = 
1 - 0,5403 =
0,4596

O valor de x no caso do cosseno, é feito em radianos.

Os valores de x (0 e 1) resultam nos valores (-1 e 0,4596), a raiz da equação (ou seja zero) está entre esses dois números:

-1 < 0 < 0,46

Então a expressão tem raiz. Como o '1' resultou em um valor mais próximo de zero, fazemos um número próximo dele, 0,8, por exemplo:

x - cos(x) =
0,8 - cos(0,8) =
0,8 - 0,6967 =
0,1032 [temos mais proximidade, fazendo menor, 0,7, temos:]

x - cos(x) =
0,7 - cos(0,7) = 
0,7 - 0,7648 =
-0,06484

Resposta: A expressão tem raiz e é aproximadamente 0,7.